Principe Fondamental de la Dynamique

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Eh non ! Vous n'êtes pas sûr de les toucher.

Le Principe Fondamental de la Dynamique (abrégé PFD) est un instrument physique extrêmement puissant. En effet, il permet aux pauvres élèves de terminale scientifique de faire des exercices sans aucun intérêt. De plus, la version qui leur en est donnée est fausse.

[modifier] Énoncé du Principe

Ce principe dit, dans sa version officielle : « la somme des forces extérieures appliquées à un corps est égale à la masse du corps multipliée par la dérivée temporelle seconde de la position de ce dernier ».

La formule qui décrit ce mensonge est : \sum Forces~ext\acute erieures = Masse x \frac{d^2 \int \frac{dPosition}{dt} dt}{dt^2}

[modifier] Le mensonge

Normalement, avec cette formule, on peut prédire, par intégrations successives, la trajectoire d'un caillou à coup sûr. Cependant, une expérience des plus simples montre que c'est faux. Voici le protocole, sortez dans la rue, trouvez un caillou et prenez un poto pour cible. Calculez la trajectoire pour atteindre le poto, lancez le caillou (avec la main, ça suffira). Et vous verrez que vous ne toucherez pas à coup sûr, bien loin de là. Après plusieurs essais vous en serez convaincu, cette formule est fausse. La véritable formule, qui est démontrable, est avant tout probabiliste.

[modifier] La vraie formule

Voici la formule :

Forces~ext\acute erieures x \frac{N}{D} = C_N^{N_{bi}} x \frac{d\frac{dPosition}{dt}}{dt}

Avec N = nombre de lancers.
Avec D = distance à la cible. Avec N_{bi} = nombre de Bichon (cf Loi Bichon des probabilités). L'emploi du nombre de Bichon est théorique en fait, il s'agit ici de la valeur du coefficient dans le vide. On le donne en référence par convention. Mais sa valeur change selon divers facteurs.

[modifier] La démonstration

La démonstration a lieu en deux phases, la première à l'équilibre, la seconde quand il y a mouvement.
Lorsqu'on se place à l'équilibre : \frac{d\frac{dPosition}{dt}}{dt} = 0 et N (nombre de lancers) est égal lui aussi à 0. On obtient donc 0 = 0, équation juste et non contributive, mais juste. La formule est donc vraie à l'équilibre.
Lorsqu'on se place en mouvement : cette démonstration fait appel à des notions très poussées concernant les forces de contact et à distance. Trouvons d'abord l'expression de la force grâce à la loi de Newton de l'attraction universelle.

    • Newton :  F_{Cailloux/Terre}= \frac{GM_{Cailloux}M_{Terre}}{{d_{Cailloux/Terre}}^2}. On ne lance des cailloux qu'au voisinage proche de la terre, d'où d_{Cailloux/Terre} = Rayon de la Terre (R_{Terre}) + h (hauteur du cailloux par rapport au sol).

Avec un développement limité à l'ordre un : F_{Cailloux/Terre} = GM_{Cailloux}M_{Terre} x (R_{Terre} - h). D'où F_{Cailloux/Terre} = GM_{Cailloux}M_{Terre} x R_{Terre}. Avec GM_{Terre}R_{Terre} constant, que l'on note g, on obtient Force = Masse de l'objet x g. g étant une accélération, c-a-d \frac{d\frac{dPosition}{dt}}{dt}.
Nous avons donc la correspondance ∑ Forces~ext\acute erieuresMasse x \frac{d\frac{dPosition}{dt}}{dt}. Cela est en fait loin d'être rigoureux. En effet, il faut qu'un nombre magique soit présent pour que la formule fonctionne. C'est donc à ce moment qu'il faut faire appel à Loi Bichon des probabilités, en effet, on ne peut pas toucher six fois de suite une cible à coup sûr, il faut faire appel aux probabilités.
Quant au facteur \frac{N}{D}, il est empirique. Nous n'avons rien supposé sur la nature du cailloux (forme, masse, ... ) pour généraliser à tous les corps, il suffit de faire cette observation et de constater que le raisonnement s'applique à tous corps.

[modifier] Conclusion

Même si la vérité est cachée par le corps enseignant français nous sommes là pour rétablir la vérité. Mais ne jetons pas la pierre si vite car leur mensonge peut s'expliquer par la difficulté de la démonstration et la faiblesse du niveau des élèves.


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