Preuve

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Une preuve est une démonstration, généralement tortueuse et visant à confondre le lecteur, de l'irréfutabilité d'une proposition. La proposition est construite à partir de preuves précédentes ou d'axiomes. Une preuve se distingue de l'exemple qui n'affirme irréfutablement une proposition que dans un cas particulier.

Par exemple, la phrase "Tous les multiples de deux sont pairs parce qu'on peut les diviser par deux." est divisible par deux : la proposition et la preuve. C'est également un exemple et donc un cas particulier. Ce n'est donc pas une preuve à proprement dit (bien que ça en soit une). Le détail est laissé au lecteur.

Un exemple d'exemple serait la phrase "Le chiffre neuf n'est pas un nombre premier parce qu'il est divisible par trois, c'est évident." est divisible par trois : la proposition à proprement dit, la premier argument de la preuve et le second argument de la preuve. À l'évidence, c'est un cas particulier et c'est donc un exemple. Notez que cette dernière phrase est une preuve. À preuve, elle démontre l'irréfutabilité de l'exemple.

Gardez en tête que l'exemple de l'exemple n'est pas une preuve, puisque il se voulait un exemple.

Types de preuves

Preuve par l'absurde

La preuve par l'absurde n'est pas si absurde que ça. En principe, elle consiste à supposer qu'une proposition est fausse et à en dériver une contradiction avec quelque chose qu'on sait véridique. Et puisque nous n'aimons pas les contradictions, nous rejetons alors la proposition fausse.

Voici un exemple de preuve par l'absurde. Soit la proposition "Un Jean, Char n'est pas". Nous allons prouver qu'elle est vrai par l'absurde. À l'évidence, la proposition "Un Jean Char est" est à l'évidence absurde. Il s'en suit que la proposition originale est vraie.

Voir aussi le raisonnement par l'absurde

Preuve constructive

Une preuve constructive, comme son nom l'indique, consiste à partir de rien pour arriver à quelque chose. Mais comme le dit l'énoncé axiomatique "Rien ne se perd, rien ne se crée : tout se transforme.", cette technique n'est pas très populaire puisqu'elle se contredit elle même. Peut-être aussi parce que c'est difficile de partir de rien (à ce sujet, il n'y a rien à voir).

Un exemple classique est la preuve associée à la proposition "Sarkozy n'est guère non-plus". La preuve consiste à démarrer de la proposition(vraie) à l'effet qu'un "Jean, Char n'est pas". Puisqu'un Jean, Char n'est pas, nous avons comme cas particulier qu'il n'est pas en guerre. De plus, puisque Jean Char, n'est pas, nous avons comme cas particulier qu'il ne l'est pas sur tous les continent. Il s'en suit qu'il n'est Char qu'aux îles, ou réécrit convenablement : Sarkozy. En combinant les deux arguments, nous avons que Sarkozy n'est guère non plus, ce qui complète la preuve.

Preuve autocratique

Une preuve autocratique ne fonctionne seulement que si vous êtes un singe savant. Elle est généralement préférée puisqu'elle repose sur votre égo et l'égo est fonction de la capacité à faire des preuves autocratiques. ll s'en suit que par construction, l'égo sans trique n'est guère adepte de cette preuve. Dans ce cas, l'exemple sert de preuve.

Par exemple, la proposition "Nous sommes dans une grave crise économique", démontrée par "C'est l'économiste qui l'a dit sur tf1, il a plein de diplômes, alors tu vois, j'ai raison !" (voir la page sur l'économiste à ce sujet) est une preuve autocratique. "Ta gueule" est aussi une forme plus courante. Les concepts clés tels que "à l'évidence", "il va de soit", "le lecteur intelligent peut déduire que" et le célèbre "trivialement" sont des indicateurs de preuves autocratiques.

Preuve inductive

La preuve inductive est un cas particulier de forme constructive qui donne l'exemple. Elle repose sur une propriété élémentaire d'un ensemble dénombrable : on peut le dénombrer (d'où le nom). Il consiste à montrer qu'une proposition est vraie pour le premier élément. Il consiste ensuite à montrer que si c'est vrai pour un élément quelconque, il est vrai pour le suivant. Nous pouvons alors conclure que puisque le premier est vrai et que c'est vrai pour le suivant, c'est aussi vrai pour le second et ainsi de suite.

Par exemple, la proposition "tous les gens sont absurdes" peut-être prouvée par induction. D'abord, nous savons qu'un "Jean, Char, n'est pas" (voir la preuve par l'absurde). Il s'en suit qu'en particulier, il n'est pas très brillant ou dit par l'affirmative, qu'un "Jean, Char est absurde" et donc qu'une gent est absurde. Maintenant, il faut montrer que si c'est vrai pour un gent, c'est également vrai pour les autres gents. Mais ceci est vrai par définition (une gent = une nation = plusieurs personnes, ignare). Il s'en suit que la proposition est vraie.

Pour plus de détail, voyez la page de démonstration par récurrence

Le corollaire

Le corollaire n'est pas une preuve à proprement dit, mais c'est une seconde proposition qui découle directement d'une preuve. À ce stade, le lecteur est invité à déduire l'exemple tiré des deux propositions suivantes :

  1. Tous les gens sont absurdes (prouvé par induction).
  2. Sarkozy est une personne (Preuve autocratique : à l'évidence, c'est vrai).
  3. (Le corollaire est laissé au soin du lecteur).


Preuve circulaire

La preuve circulaire est une preuve circulaire. Contrairement à ce que son nom laisse penser, elle n'a rien à voir avec le cercle à proprement dit. En effet, une preuve carrée est aussi une preuve circulaire. On pourrait donc adopter le vocable de "preuve topologique d'objet fermé de dimension un", mais l'exactitude serait gagnée au détriment de la compréhension des masses (comprendre l'enclume est déjà quelque chose, sauf pour le topologiste). Notez finalement que bien qu'une preuve carrée soit circulaire, on ne peut en conclure la faisabilité de la quadrature du cercle.

Un exemple de preuve circulaire est la justification de l'exemple d'exemple en introduction de ce texte : "Gardez en tête que l'exemple de l'exemple n'est pas une preuve, puisque il se voulait un exemple."

Mauvaise preuve (ou preuve erronée)

La preuve erronée en est une fallacieuse (ne pas confondre avec fellatieuse). Elle revêt de multiples formes. Pour le démonstrateur autocratique, ce sont les preuves des autres. Pour les preuves constructives, il s'agît parfois de l'introduction d'une fausse affirmation, parfois pas si subtile que ça, qui permet d'arriver à la mauvaise conclusion avec une bonne démarche.

Par exemple, la proposition "Ta démonstration à l'effet que Sarkozy n'est guère non plus ne fonctionne pas" peut être prouvée par "Tu ne peux pas dire que si un cas particulier est vrai, le contraire est aussi vrai. Puisque tu as employé cet argument, c'est clairement faux !". Le lecteur intelligent comprendra que c'est une mauvaise preuve.

La preuve démocratique

La preuve démocratique est en quelque sorte le contraire de la preuve autocratique. On peut facilement montrer par induction que ce type de preuve est plutôt faible (voir l'exemple de preuve par induction), mais demeure vastement acceptée.

Voici un exemple de preuve démocratique. La proposition "tous les gens ne sont pas imbéciles" peut être prouvée démocratiquement en demandant aux gens de voter s'ils pensent qu'ils sont imbéciles ou non. La conclusion suit par une somme de preuves autocratiques.

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