Numérotation arabo-romaine

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La numérotation arabo-romaine est une nouvelle méthode pour écrire les nombres. Elle combine les avantages de la numérotation dite "romaine" avec le graphisme des chiffres importé par des travailleurs immigrés d'afrique du nord.

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Un étudiant au début de son apprentissage de la numérotation arabo-romaine

Les symboles

La numérotation arabo-romaine utilise pour la représentation des nombres les symboles 1 5 0 , et plus accessoirement - et , . Elle est donc plus simple que la numérotation romaine qui utilise sept lettres pour finalement ne prendre en compte que les entiers positifs pas trop grands, et surtout la numérotation dite arabe qui utilise dix chiffres et deux caractères spéciaux.

Commençons par compter jusqu'à dix

  • zéro : il s'agit d'un cas particulier, donc on en parlera plus tard
  • 1 : un
  • 11 : deux
  • 111 : trois
  • 15 : quatre
  • 5 : cinq
  • 51 : six
  • 511 : sept
  • 5111 : huit
  • 110 : neuf
  • 10 : dix

On le voit, la règle générale consiste à rajouter le chiffre 1 à droite du nombre précédent lorsqu'on progresse d'une unité. Toutefois, il y a le chiffre 5 qui vaut cinq fois la valeur du chiffre 1. Aussi, dès qu'on se rapproche de la valeur cinq, ce qui est le cas quand on arrive à quatre (même si on est tout seul), on indique que l'on soustrait un à cinq. Dans ce cas, le chiffre 1 est à gauche du 5. Le cas de la valeur neuf est similaire.

Comptons de dix en dix maintenant

  • zéro : on vous a dit que c'est un cas particulier, donc patientez !
  • 10 : dix
  • 1010 : vingt
  • 101010 : trente
  • 1050 : quarante
  • 50 : cinquante
  • 5010 : soixante
  • 501010 : soixante dix (ou septante chez les Suisses, Belges et Québécois qui n'ont pas compris qu'il suffit de rajouter 10 à 5010 pour obtenir cette valeur)
  • 50101010 : là, ceux qui disent octante ou huitante vont pouvoir se venger sur ceux qui prononcent 15 1010.
  • 10100 : octante dix (ou d'autres variantes suivant les dialectes locaux)
  • 100 : cent

Si l'on compare l'écriture des nombres de ce paragraphe avec ceux du paragraphe précédent, on constate qu'il suffit de réécrire les nombres de la première série en rajoutant un 0 juste après chaque chiffre. Le symbole 0 correspond donc une multiplication par dix. Mais on verra plus tard qu'un 0 dans une partie décimale permet au contraire de diviser par dix. Le cas particulier de la valeur zéro qui devrait s'écrire pareil dans les deux paragraphes fait l'objet de nombreux débats mais on vous a déjà dit qu'on en parlera plus tard !

Construisons les nombres en associant des chiffres

On peut généraliser les règles que nous avons commencé à entrevoir pour écrire des nombres plus complexes qui, comme vous allez le constater sont parfaitement lisibles :

  • 11 : deux (vous connaissiez déjà)
  • 101 : onze
  • 1001 : cent un
  • 10001 : mille un
  • 51 : six (déjà vu)
  • 501 : cinquante et un
  • 5001 : cinq cent un
  • 10010 : cent dix
  • 1000010 : dix mille dix
  • 1000500105 : mille cinq cent quinze, que certains idiots écrivent 1510015, alors qu'aucun nombre ne peut s'écrire comme ça !

Le dernier exemple montre bien qu'on indique d'abord les valeurs importantes avant de rajouter du coté droit des valeurs plus faibles. Dans ce nombre, on a écrit dans l'ordre les milliers, les centaines, les dizaines et les unités. De la même manière, on peut écrire des valeurs d'années correspondant davantage à notre période actuelle :

  • 10001000 : deux mille
  • 100010001 : deux mille un
  • 1000100011 : deux mille deux

Mais comment allons nous écrire l'année qui précède deux mille ?

Surtout pas 110001000 ! Déjà, l'écriture 100011000 serait plus compréhensible (on soustrairait un au deuxième millier). Mais pour qu'un nombre soit lisible, il faut dans la mesure du possible le découper en (....), dizaines de milliards, milliards, centaines de millions, dizaines de millions, millions, centaines de milliers, dizaines de milliers, milliers, centaines, dizaines, unités (on verra plus tard les parties décimales).

Ainsi, le nombre mille huit cent quatre vingt huit s'écrit tout simplement :

1000500100100100501010105111

De la même manière, l'écriture correcte du nombre qui est juste avant deux mille (10001000) est :

1000100100010100110

ce qui est, vous en conviendrez, beaucoup plus facilement compréhensible que les écritures fantaisistes indiquées un peu plus haut.

Zéro, zéro, zéro ... zéro

Comment l'écrire ?

Maintenant que vous avez bien assimilé les règles de composition des nombres, on va pouvoir étudier la valeur zéro. Ceux qui pensent qu'il suffit d'écrire 0 n'ont rien suivi. Le caractère 0 sert à multiplier (ou diviser) par dix une autre valeur. Écrit tout seul, il n'a donc aucune signification (ce qui en soit est assez proche de la signification du nombre zéro).

Pour représenter le nombre zéro (qui signifie rien du tout), les romains avaient une notation condensée qui consistait à ne rien écrire (ou plus exactement, ils écrivaient un I de moins que pour la valeur I (un)). On pourrait faire de même, mais pour parodier la célèbre expression de Chuck Norris, "lorsque ça va sans dire, c'est mieux en le disant", il peut être préférable d'écrire la valeur zéro.

On a déjà eu l'occasion de soustraire une valeur à une autre en mettant la petite valeur à gauche de la grande comme dans :

  • 15 : quatre, alors que 51 vaut six
  • 110 : neuf, alors que 101 vaut onze
  • ...

Le problème est que si on écrit 11 (en pensant un moins un), on peut aussi lire deux (un plus un). La solution consiste à utiliser un caractère spécial pour préciser que l'on fait une soustraction avec le nombre qui suit. On met le caractère - entre ces 2 nombres. Ainsi :

zéro s'écrit : 1-1

Le zéro s'écrit il toujours pareil ?

La question qui se pose est : est-ce la seule manière d'écrire la valeur zéro ? Autant l'écriture de la valeur 1 (un) est unique, autant le débat n'est pas tranché pour la valeur zéro qui, d'après certains avis pourrait s'écrire d'une infinité de manières différentes.

Ainsi, si l'on regarde comment sont écrits les nombres dans le cas d'un comptage de 10 en 10 (ceux qui n'ont pas compris de dix en dix peuvent recommencer la lecture de l'article, à condition de bien vouloir y consacrer plus d'attention), une autre écriture de la valeur zéro vient immédiatement à l'esprit :

zéro s'écrirait 10-10

et il y aurait beaucoup d'autres possibilités :

  • 11-11
  • 111-111
  • 15-15
  • 5-5
  • 51-51
  • ...
  • 110-110
  • 101-101
  • ...
  • 1000500100100100501010105111-1000500100100100501010105111
  • ... etc.

À partir de là, deux clans aux idées opposées s'affrontent :

  • ceux qui estiment que le zéro devrait s'écrire de manière unique : 1-1
  • ceux qui tiennent à conserver une infinité de possibilités pour l'écriture du zéro.

Les premiers font remarquer que tous les autres nombres s'écrivent de manière unique, et qu'il n'y a pas besoin de faire une exception pour le zéro. Ils choisissent donc l'écriture 1-1 qu'ils disent être la plus simple de toutes.

Leurs adversaires font remarquer qu'écrire 5-5 n'est pas plus compliqué que 1-1, et que 10000100000500010001000100050010010010101015-10000100000500010001000100050010010010101015 est juste un peu plus long. Ils mettent en garde contre l'intégrisme qui consisterait à imposer une écriture unique pour le zéro et soupçonnent le clan opposé (étant donné que la numérotation arabo-romaine utilise les chiffres arabes) d'être à la solde de fanatiques musulmans.

En marge de ces prises de position, un troisième groupe de personnes fait quand à lui remarquer que tous ces débats reviennent à des discussions pour rien, puisque c'est précisément à ça que correspond la valeur zéro.

On peut noter que parmi les plus farouches partisans de l'écriture multiforme de la valeur zéro figurent les centres d'apprentissage aux métiers de la guerre. Ils font remarquer que la possibilité de choisir la manière d'écrire zéro relève de la démocratie, et que la démocratie doit être défendue, par la force si nécessaire. Contrairement à certaines idées reçues l'apprentissage des métiers de la guerre ne se limite pas à apprendre à compter de manière répétitive de 1 à 11. En plus des 10001 manières de trucider l'ennemi, l'apprentissage de la numérotation arabo-romaine est indispensable car elle fait la synthèse de plusieurs cultures. Et c'est nécessaire vu que la guerre se fait dans des pays étrangers. Aussi, à la fin de leur formation, pour montrer qu'ils sont bien décidés à défendre (par la force si nécessaire) la liberté, notamment celle qui consiste à choisir la manière d'écrire le zéro, les étudiants issus des centres d'apprentissage des métiers de la guerre ont pris l'habitude, après quelques apéros pour se donner du courage, de chanter un hymne à la liberté aux paroles très simples : "Zéro, zéro, zéro, zéro ...".

Les nombres négatifs

Maintenant qu'on sait écrire rien, on va étudier comment écrire moins que rien.

Un nombre négatif, c'est en effet une valeur qu'on enlève à rien (ou à zéro si vous préférez). On a vu que pour enlever quelque chose, il suffit de mettre le nombre que l'on veut enlever suivi d'un - à gauche de ce qui suit, c'est à dire dans le cas présent à gauche de rien du tout. La suite des nombres négatifs est donc la suivante :

  • 1- : un enlevé à rien (ou à zéro), que l'on lit souvent moins un.
  • 11- : deux enlevé à rien, que l'on lit souvent moins deux.
  • 111- : moins trois
  • 15- : moins quatre
  • ...-
  • 110- : moins neuf
  • 10- : moins dix
  • 101- : moins onze
  • ...-
  • 10000100000500010001000100050010010010101015- : moins quatre-vingt dix-huit mille sept cent trente-quatre
  • ...-

Les nombres décimaux

On a vu que le caractère 0 sert à faire des multiplications par 10 (dix). Par exemple, le chiffre 1 suivi du chiffre 0 signifie 1 multiplié par dix, qui fait dix. De la même manière on peut mettre des 0 avant un nombre pour indiquer une ou plusieurs divisions par dix.

Ainsi on a les valeurs :

  • 01 : un dixième
  • 0101 : deux dixièmes
  • 010101 : trois dixièmes
  • 0105 : quatre dixièmes = cinq dixièmes - un dixième
  • 05 : cinq dixièmes
  • 0501 : six dixièmes = cinq dixièmes + un dixième
  • 050101 : sept dixièmes
  • 05010101 : huit dixièmes
  • 011 : neuf dixièmes = une unité - un dixième
  • 001 : un centième
  • 001001 : deux centièmes
  • 001001001 : trois centièmes
  • 001005 : quatre centièmes = cinq centièmes - un centième
  • 005 : cinq centièmes
  • 005001 : six centièmes = cinq centièmes + un centième
  • 005001001 : sept centièmes
  • 005001001001 : huit centièmes
  • 00101 : neuf centièmes = un dixième - un centième

Reste à séparer la partie entière de la partie décimale des nombres pour éviter des difficultés de lecture (voire des ambiguïtés). Pour cela, on utilise le symbole , .

Voici quelques exemples de nombres décimaux :

Le nombre pi avec ses 101010 premières décimales 111,0100100500010000500000100001000000100000010000000500000001000000005000000000100000000010000 00000100000000005000000000005000000000001000000000001000000000001000000000000100000000000100000 00000000500000000000001000000000000010000000000000010000000000000100000000000000010000000000000 00100000000000000010000000000000000100000000000000001000000000000000001000000000000000001000000 00000000000100000000000000000050000000000000000001000000000000000000100000000000000000010000000 00000000000010000000000000000000500000000000000000000500000000000000000000100000000000000000000 01000000000000000000000100000000000000000000005000000000000000000000010000000000000000000000010 00000000000000000000005000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000 00100000000000000000000000001000000000000000000000000010000000000000000000000000100000000000000 00000000000050000000000000000000000000010000000000000000000000000010000000000000000000000000010 00000000000000000000000000100000000000000000000000000010000000000000000000000000001000000000000 00000000000000001000000000000000000000000000010000000000000000000000000000050000000000000000000 00000000001000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000100000000000000000000000 0000001

Le nombre pi multiplié par lui même (sur 1010110 décimales) 110,0501010100500100010010000500001000000100000050000000100000005000000000100000000000500000000 00010000000000010000000000010000000000001000000000001000000000000010000000000000100000000000001 00000000000000500000000000000050000000000000001000000000000000100000000000000010000000000000000 50000000000000000100000000000000000100000000000000000050000000000000000001000000000000000000100 00000000000000001000000000000000000050000000000000000000100000000000000000001000000000000000000 01000000000000000000001000000000000000000001000000000000000000001000000000000000000000100000000 00000000000005000000000000000000000010000000000000000000000500000000000000000000000100000000000 00000000000100000000000000000000000001000000000000000000000000100000000000000000000000000100000 00000000000000000000100000000000000000000000000010000000000000000000000000010000000000000000000 00000000050000000000000000000000000000100000000000000000000000000001000000000000000000000000000 01000000000000000000000000000005000000000000000000000000000001000000000000000000000000000001

Le nombre d'or (avec 1010105111 ou 101010110 décimales, c'est pareil à cause de la dernière à 1-1) 1,050100100050001000100010000010000010000010000001000000100000010000000100000010000000050000000 01000000001000000001000000000500000000010000000001000000000100000000005000000000010000000000100 00000000010000000000050000000000001000000000001000000000000050000000000000100000000000001000000 00000001000000000000001000000000000010000000000000001000000000000000500000000000000005000000000 00000001000000000000000010000000000000000100000000000000000100000000000000000500000000000000000 05000000000000000000100000000000000000010000000000000000001000000000000000000010000000000000000 00010000000000000000000001000000000000000000000500000000000000000000005000000000000000000000005 00000000000000000000000100000000000000000000000100000000000000000000000100000000000000000000000 05000000000000000000000000100000000000000000000000005000000000000000000000000010000000000000000 00000000010000000000000000000000000100000000000000000000000000100000000000000000000000000100000 00000000000000000000010000000000000000000000000001000000000000000000000000000500000000000000000 00000000000100000000000000000000000000001000000000000000000000000000010000000000000000000000000 00005000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000500000000000000000000000000000 00500000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000 00000100000000000000000000000000000000100000000000000000000000000000000050000000000000000000000 00000000000100000000000000000000000000000000010000000000000000000000000000000001000000000000000 00000000000000000001000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000500 00000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000100000000000000000000000 00000000000000500000000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000010000 00000000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000000000001

Le cours du lingot d'or le 51/110/100010005111 à 101 h 1010111 :
1000050001000100010001005001051,0500101 €

Notez que ces Pi et le nombre d'or ne sont pas décimaux, ni même rationnels. On apprendra par la suite à les écrire.

Discussion au sujet de la séparation des chiffres

Pour certains, écrire toute une série de chiffres les uns à la suite des autres n'est pas toujours très lisible. Ils préconisent de laisser un espace entre les symboles correspondant à une puissance de 10 différente. Ainsi, les premières décimales du nombre pi s'écriraient :

111 ,01 001005 0001 00005 00000100001 00000010000001 0000000500000001 000000005 000000000100000000010000000001 00000000005 000000000005000000000001000000000001000000000001 0000000000001000000000001 000000000000050000000000000100000000000001 00000000000000100000000000001 000000000000000100000000000000010000000000000001 0000000000000000100000000000000001 000000000000000001000000000000000001000000000000000001 0000000000000000005000000000000000000100000000000000000010000000000000000001 0000000000000000000100000000000000000005 000000000000000000005000000000000000000001 00000000000000000000010000000000000000000001 0000000000000000000000500000000000000000000001 000000000000000000000001000000000000000000000005 000000000000000000000000100000000000000000000000010000000000000000000000001 000000000000000000000000010000000000000000000000000100000000000000000000000001 000000000000000000000000005000000000000000000000000001000000000000000000000000001000000000000000000000000001 000000000000000000000000000100000000000000000000000000010000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000100000000000000000000000000001 000000000000000000000000000005000000000000000000000000000001000000000000000000000000000001 0000000000000000000000000000001000000000000000000000000000001

Les avis sont partagés sur l'intérêt de ces séparations. Pour les écologistes, ça revient à un gaspillage de papier. Il est certain que si on lit correctement les nombres en notation arabo-romaine, ce rajout d'espaces n'est pas nécessaire. De plus, il peut poser problème dans le cas de nombres manuscrits, puisqu'à moins d'une écriture soigneuse, on risque de compter des espaces là où il ne devrait pas y en avoir, ou inversement, ce qui va compliquer la lecture des nombres.

Les nombres rationnels

Comme le laissait supposer la fin du chapitre sur les nombres décimaux, les nombres utilisés comme exemples que sont pi et le nombre d'or, ne sont pas considérés par les mathématiciens intégristes comme des nombres décimaux (sous entendu, le singe qui a rédigé l'article a tapé n'importe quoi).

Effectivement, pour les mathématiciens intégristes, les nombres décimaux sont le résultat de la division d'un nombre entier avec une puissance entière et positive de 10 (un 1 suivi de quelques zéros). En conséquence, le nombre de chiffres après la virgule d'un nombre décimal est fini. Ils ont également inventé les nombre rationnels qui sont le résultat de la division de 11 nombres entiers quelconques. Ces derniers peuvent s'écrire avec un nombre infini de chiffres après la virgule, mais dans ce cas, ces chiffres reviennent périodiquement.

Prenons un exemple :

Dans la numérotation arabe 4 / 3 = 1,33333...

En numérotation arabo-romaine, ça donne :

15 / 111 = 1,010101001001001000100010001000010000100001000001000001000001...

On le voit, la valeur 111 revient régulièrement dans le résultat aux différentes positions après la virgule.

Quelquefois, c'est une série de chiffres distincts qui revient périodiquement :

Par exemple, en numérotation arabe :

41111 / 33300 = 1,23456456456456456...

Dans la numérotation arabo-romaine, on a :

10000500001000100101 / 100001000010000100010001000100100100 = 1,01010010010010001000500005000005000001000000100000050000000500000000500000000100000000010 0000000050000000000500000000000500000000000100000000000010000000000005000000000000050000000 0000000500000000000000100000000000000010000000000000005000000000000000050000000000000000050 00000000000000001...

La encore, la périodicité des chiffres du résultat saute aux yeux.

Or, en introduisant la notion de nombre à boucle, la numérotation arabo-romaine permet de représenter cette périodicité des chiffres. Il suffit de mettre les chiffres qui reviennent entre parenthèses. La forme ronde des ( ) signifie que l'on tourne autour de ce qu'il y a à l'intérieur. Reste à définir comment écrire l'intérieur des ( ) .

Écriture petite boucliste

Dans l'écriture petite boucliste, le principe consiste à écrire entre les parenthèses les chiffres de la boucle tels qu'ils apparaîtraient dans le nombre écrit juste avec ses premières décimales. Ainsi, si on reprend les exemples précédents :

1,010101001001001000100010001000010000100001000001000001000001... s'écrit 1,(010101)

1,01010010010010001000500005000005000001000000100000050000000500000000500000000100000000010 0000000050000000000500000000000500000000000100000000000010000000000005000000000000050000000 0000000500000000000000100000000000000010000000000000005000000000000000050000000000000000050 00000000000000001... s'écrit 1,0101001001001(0001000500005000005000001)

La particularité de l'écriture petite boucliste est que l'intérieur des ( ) contient une petite valeur décimale, d'où son nom (il manquerait le 0, au début).

Écriture grosse boucliste

L'écriture grosse boucliste conteste l'idée d'écrire la séquence de chiffres comme elle apparaît la première fois dans la représentation décimale du nombre, puisque elle s'écrit différemment dès la fois suivante. Cette écriture propose donc de simplifier le contenu de la boucle en y mettant la valeur entière qui correspond à la séquence de chiffres qu'elle contient. Ainsi :

1,010101001001001000100010001000010000100001000001000001000001... s'écrit 1,(111)

1,01010010010010001000500005000005000001000000100000050000000500000000500000000100000000010 0000000050000000000500000000000500000000000100000000000010000000000005000000000000050000000 0000000500000000000000100000000000000010000000000000005000000000000000050000000000000000050 00000000000000001... s'écrit 1,0101001001001(1005005051)

L'écriture grosse boucliste doit son nom au fait que l'intérieur de la boucle peut prendre des grandes valeurs si la séquence de chiffres qu'elle contient est longue.

Avantages et inconvénients des deux 11 écritures

Pour comprendre les arguments des partisans de chacune des écritures, revenons un instant à la numérotation arabe. Dans cette numérotation, une valeur comme 1,2 peut s'écrire :

  • 1,2
  • 1,20
  • 1,200
  • 1,2000
  • ...

Donc, plusieurs façons d'écrire la même chose. Dans la numérotation arabo-romaine, on écrit toujours pareil :

1,0101

Cela montre la supériorité de la numérotation arabo-romaine sur la numérotation arabe (et aussi sur la romaine qui ne prévoyait pas de nombres décimaux). Toutefois, cette particularité peut entraîner des complications lorsque des zéros apparaissent à une extrémité de la boucle, voire juste avant.

Ainsi, les partisans de l'écriture grosse boucliste critiquent les petits bouclistes car ils ne sont pas capables de mettre des 1-1 à la fin de leur boucle. Par exemple le nombre en notation arabe :

3,210101010... ou en plagiant les bonnes idées 3,2(10)

S'écrit 111,0101(10) dans l'écriture grosse boucliste, alors que 3,211111... soit 3,2(1) s'écrirait 111,0101(1) .

L'écriture petite boucliste propose pour 3,2(1) la valeur 111,0101(001) mais ne permet pas d'écrire directement 3,2(10) .

Bien entendu, les partisans de l'écriture petite boucliste ont rapidement trouvé un contre exemple : 3,20(1) s'écrit chez eux 111,0101(0001) alors que les gros bouclistes ne sont pas capable de faire commencer leur boucle de (1) au bon endroit !

Pour départager les protagonistes, certains font remarquer que les valeurs 3,20(10) ou 3,2(010) ne pourraient s'écrire dans aucune des 11 écritures en concurrence. En conséquence, ils considèrent que la société Motorola (partisane de l'écriture grosse boucliste) et la société Intel (partisane de l'écriture petite boucliste) feraient mieux de rester à la numérotation binaire plutôt que de songer à concevoir une nouvelle génération de microprocesseurs utilisant la numérotation arabo-romaine, car le fond du problème est lié à cet enjeu industriel.

En réalité, la solution à ce genre de problème est simple. Il suffit de commencer la boucle plus tôt ou plus tard. Un nombre en numérotation arabe du style 3,20(0120) est impossible à convertir dans aucune des écritures de la numérotation arabo-romaine, mais il peut s'écrire aussi 3,(2001) ou 3,2001(2001) qui eux sont parfaitement convertibles. Le premier donne 111,(100010001) avec l'écriture grosse boucliste et 111,(010100001) avec l'écriture petite boucliste.

Match nul provisoire donc entre les multinationales de l'électronique. Qui va gagner ?

Si votre coeur tient le coup d'ici là, vous le saurez peut être dans un prochain chapitre.

Les nombres à infinité périodique

« Un nombre infini est un nombre qui a une infinité de chiffres dans sa partie entière. »
~ Gérard Mansoif
« Contre exemple : 00....001,23 est un nombre fini qui vaut 1,23 »
~ Gérard Mansoif après avoir réalisé qu'il venait de dire une connerie. Du coup, il s'est servi un verre.

Dans la numérotation arabo-romaine, le contre exemple s'écrirait obligatoirement 1,0101001001001 , et un nombre avec une infinité de chiffres dans sa partie entière est bien un nombre qui a une valeur infinie.

Or, parmi les nombres qui ont une valeur infinie, certains sont faciles à écrire : ceux pour lesquels les chiffres reviennent périodiquement. On les appelle des nombres à infinité périodique. Il suffit pour les écrire de mettre une boucle dans la partie entière du nombre.

Par exemple en utilisant l'écriture grosse boucliste (1011)10101015,05005001 est un nombre qui commence par une infinité de 1 (un) et de 11 (deux) alternés, puis se termine par trois, quatre virgule cinq six. En numérotation arabe, ce nombre vaudrait : 12......12121234,56 et comme il a une infinité de chiffres non nuls dans la partie entière, ce nombre a une valeur infinie. Avec l'écriture petite boucliste, on l'écrirait : (1000100100)10101015,05005001

On peut généraliser l'écriture des nombres à infinité périodique en mettant plusieurs boucles voire en imbriquant des boucles dans d'autres boucles. Pour une écriture plus compacte écrivons d'abord l'exemple en numérotation arabe :

12(34)56(78)9,1(23)

Donc une valeur dont la partie entière :

  • commence par les chiffres 1 et 2 (on est en numérotation arabe),
  • puis une infinité de chiffres 3 et 4 alternés,
  • puis les chiffres 5 et 6,
  • puis une infinité de chiffres 7 et 8 alternés,
  • puis le chiffre 9

et pour la partie décimale, après la virgule :

  • le chiffre 1,
  • puis une infinité de chiffres 2 et 3 alternés.

De tels nombres s'appellent des nombres multiboucles et une branche spéciale des mathématiques est en train de naître pour étudier leur propriétés.

En numérotation arabo-romaine, avec l'écriture grosse boucliste, le nombre de l'exemple ci-dessus s'écrit :

1011(10101015)5051(5010105111)110,01(1010111)

On peut remarquer chaque groupe de chiffres, qu'il soit dans une boucle ou entre 11 boucles s'écrit tout simplement comme le nombre entier composé des mêmes chiffres.

Avec l'écriture petite boucliste, il faut tenir compte de la position des chiffres pour les écrire. Le nombre de l'exemple se terminerait par :

...(5001001005101010)110,01(001001000010000100001)

mais on ne peut pas écrire le début, car il faudrait tenir compte de l'infinité de chiffres de la boucle (5001001005101010) pour écrire correctement ce qui précède.

En conséquence : l'écriture petite boucliste ne permet pas d'écrire correctement des nombres multiboucles.

L'écriture petite boucliste de la numérotation arabo-romaine est donc disqualifiée.

Cela entraîne 11 conséquences fondamentales pour l'avenir de l'informatique :

  • Les prochains ordinateurs utiliseront un microprocesseur Motorola,
  • il faudra donc réécrire Windows, alors que Linux et Mac OS 110 sont déjà au point.

Critiques de la numérotation arabo-romaine

Malheureusement, les meilleures idées ont leur détracteurs. Bien qu'elle prenne ce qu'il y a de mieux dans les numérotations arabes et romaines (contrairement à la numérotation romano arabe qui prend ce qu'il y a de pire), cette numérotation soulève de nombreuses critiques.

Certains font remarquer qu'au lieu d'utiliser les 111 chiffres de la numérotation arabo-romaine, on pourrait se contenter des 11 chiffres de la numérotation binaire. Toutefois, la numérotation binaire n'est pas évidente au premier abord. Ainsi, en binaire :

111111 + 1 = 1000000 n'est compréhensible qu'après des années de pratique

Alors qu'en numérotation arabo-romaine :

10100110 + 1 = 100 n'a rien de compliqué

D'autres critiques concernent le nombre de symboles nécessaire pour écrire certaines valeurs numériques. Il est évident que c'est la contrepartie imposée par cette numérotation. Les écoliers qui apprenaient les nombres en numérotation arabe devaient apprendre 10 chiffres distincts. Ceux qui emploient la numérotation romaine doivent quand à eux apprendre 511 lettres. La palme revient donc à la numérotation arabo-romaine avec seulement 111 chiffres à apprendre. On reproche à la numérotation arabo-romaine de ne pas favoriser les économies de papier et d'encre. C'est l'argument de mauvaise foi typique. Toutes les études ont montré que justement cette numérotation devrait au contraire relancer l'économie chez les fabriquants de papier, de stylos, et d'encre pour imprimante (qui pourront même travailler plus pour gagner plus, sans garantie d'avoir ensuite du temps pour utiliser leur argent).

Enfin, des critiques concernent la longueur très variable des nombres dans la numérotation arabo-romaine. Ainsi, dans l'exemple ci dessus, en rajoutant 1 à un nombre de 5111 chiffres, on obtient un résultat sur 111 chiffres. Mais là encore l'argument ne tient pas la route : dans les autres numérotations aussi, en ajoutant 11 nombres, on peut avoir un résultat qui n'a la longueur d'aucun des 11.

À voir peut-être plus tard si vous êtes sage


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