Nombres complexes

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Les nombres complexes sont des nombres parfaitement normaux, qui défient les lois usuelles de l'arithmétique.

Moivre-i

de Moivre et son invention.

[modifier] Définition

Les nombres complexes sont les nombres les plus complexes dans l'univers des mathématiques. En effet, ils sont très complexés et facilement irritables. On ne peut leur en vouloir ce sont les seuls nombres qui sont une lettre ("i"). De ce fait, ils sont très complexés. Pour se rassurer, ils ont créé une égalité :i=\sqrt{-1}.

Pourquoi i ? Sans doute en référence à l'égocentrisme de son inventeur anglais, sir de Moivre, persuadé de la génialité de son invention et voulant assurer la postérité de son nom en signant I (qui signifie "moi", en rosbeef).

Ainsi, on est amené, par voie de complexes de personnalités, à la définition de ce nombre i, appelé conséquemment nombre égocentrique.

Posons i=\sqrt{-1}

Cela donne sa propriété essentielle à i: i^2=-1.

On définit les complexes comme les nombre de la forme \rho.\exp^{i(\frac{\alpha}{i}+\beta)}+\gamma à partir des nombres réels, dits aussi de tous les jours ou habituels.

[modifier] Propriétés

De même que les grecs, traumatisés par l'existence de nombres tels que \sqrt{2}, sans doute à cause du signe barbare qu'ils furent obligés d'apposer au dessus de ce nombre hautement symbolique (Charybde et Sylla, Adam et Eve, Paul et Virginie, Ségo et Sarko, etc.), de Moivre fut profondément choqué par la découverte de \sqrt{-1}. Cela permet d'expliquer sans doute l'absurdité qu'il commit en écrivant I et non de Moivre pour signaler son nom.

En effet, les propriétés qui en découlent sont majeures :

Une autre propriété, puisque (-i)^2=-1 aussi, c’est que −i=i.

[modifier] Propositions

i=\sqrt{-1}

-1=\frac{1}{-1}

d'où i=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{1}{i}

On en déduit directement i^2=1 et comme i^2=-1, on obtient :

-1=1

Ce théorème fondamental va révolutionner l'analyse du temps de de Moivre et dans les siècles suivants.

Un autre, encore plus important, est que \sqrt{-2 \times -3}=\sqrt{6} car −2×−3=6. Or on sait que \sqrt{-2 \times -3}=\sqrt{-2}\times\sqrt{-3}=i \sqrt{2} \times i \sqrt{3} = -\sqrt{6}. Donc  - \sqrt{6}=\sqrt{6}, autrement dit on a redémontré que −1=1.

[modifier] Corollaire

Les nombres qui s'écrivent k.i, k réel ne peuvent pas exister dans les mathématiques pratiques (en ce qui concerne les mathématiques abstraites, voir la notion de conjecture). On les appelle donc imaginaires purs.

[modifier] Conditions d'utilisation

À Chatuzange-le-Goubet, l'usage des nombres complexes est soumis à autorisation. Celle-ci est à retirer à la Mairie où il sera procédé au contrôle des dates de péremption des nombres complexes concernés par l'opération, préalablement à leur intégration aux calculs.


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