Nombre premier

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À l’occasion de la XXIIIe Convention Internationale Trisannuelle sur les Nombres Premiers qui se tient cette année à Saint-Athanase sur Pied (Calvados) en présence des plus éminents spécialistes de la question, il nous apparaît nécessaire de faire le point sur ce sujet qui passionne le monde entier en général et l’humanité en particulier. Fascinants pour les uns, objets de recherches théoriques incroyablement complexes pour les autres, les nombres premiers s’accompagnent toujours d’une aura de mystère qui à elle seul explique le fort attrait de nos chères petites têtes blondes et de leurs parents pour les maths.

Mais connaît-on vraiment la nature des nombres premiers ? Que cachent-ils derrière leur apparente et pourtant si troublante simplicité. Et bien vous ne le saurez toujours pas après avoir lu ce dossier très complet sur le sujet.

[modifier] Principe et définition

Mais dans un premier temps il est sans doute préférable de faire un rappel sur la définition des nombres premiers (et aussi me signale-t-on un rappel sur toutes les Peugeot 308 achetées entre le 12 janvier et le 7 juin 2008 à cause d’un léger problème de fuite au niveau du liquide de frein).

Un nombre premier est un nombre. Il se situe dans l’ensemble des entiers positifs entre 1 et l’infini-1 ou l’infini+1 (en effet, l’infini étant pair et donc divisible par 2, il ne peut pas être considéré comme premier)

Un nombre premier est premier. Cela ne signifie pas qu’il est LE premier. Sinon 1 serait le seul nombre premier et l’affaire serait réglée depuis longtemps. Dans le langage des mathématiques, « premier » signifie divisible uniquement par lui-même et par 1.

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Le seul nombre premier entre 7918 et 7920

Comme ça de prime abord on se dit que « ben alors, ça existe pas les nombres premiers ! On peut facilement diviser 8 par 3 ou 155 332 987 458 par 451 987, je l’ai fait sur ma calculatrice, ça fait juste des virgules et des chiffres après. Tous les nombres sont divisibles par n’importe quel autre nombre ! Il est con lui hé ! ».

Judicieuse remarque du demeuré au demeurant. Mais quand on dit « divisible », cela implique que l’on reste dans l’ensemble des entiers positifs , y compris pour le quotient (le résultat de la division). Par exemple 8 / 4 = 2 donc 8 n’est pas premier. Mais non il n’est pas huitième non plus vous comprenez vraiment que dalle.

  • Voici la liste des nombres premiers entre 1 et 10 : 1 on t'a dit que t'es pas le premier toi! 2, 3, 5, 7
  • Voici la liste des nombres premiers entre 11 et 20 : 11, 13, 17, 19
  • Voici la liste des nombres premiers entre 4 et 18 : 5, 7, 11, 13, 17

[modifier] Est-ce que 1 est vraiment premier ?

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Une boîte est offerte à tout lecteur de cet article

Voilà un sujet qui fait débat dans la communauté scientifique. 1 est divisible par lui-même, comme tout le monde, et par 1. Mais lui-même est égal à 1 donc il y a redondance. Or il doit être divisible par lui-même ET par 1 et non pas par lui-même OU par 1. Mais là, lui-même et 1, c’est pareil donc on dit deux fois la même chose donc ça dépend un peu comment on décide de prendre la définition du nombre premier. Si on considère que le ET dans l’axiome « divisible par lui-même ET par 1 » est exclusif, 1 n’est pas premier. Sinon, si. Nous, on dit qu’il l’est et on vous emmerde.

[modifier] Vraiment c’est sûr, 1 est premier, c’est votre dernier mot ?

C’est mon dernier mot, Jean-Pierre.

[modifier] Est-ce que 0 est vraiment pas premier ?

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Un tournant dans l'histoire des mathématiques

Voilà un sujet qui fait débat dans la communauté scientifique. 0 est divisible par 1 comme le prouve la formule suivante démontrée par Blaise Pascal en 1654 et confirmée par Bertrand Renard en 1978 : 0 / 1 = 0. Mais 0 est-il divisible par lui-même ?

0 / 0 = combien ? Disons 0 pour voir et vérifions en multipliant le quotient obtenu par le dénominateur : 0 \times 0 = 0, ce qui correspond bien à la valeur du numérateur dans la fraction initiale. Donc il semble que 0 soit bien divisible par 1 et par lui-même, donc 0 est premier.

Mais maintenant, juste pour déconner, disons que 0 / 0 = 23. Vérifions le résultat de cette équation complexe par la multiplication du quotient avec le dénominateur : 23 \times 0 = 0. Ah ben merde, ça marche aussi. Donc 0 est divisible par 1, par lui-même, mais aussi par 23, et par tous les autres nombres jusqu’à l’infini. Donc 0 n’est pas premier, il est même plutôt dernier parce qu’il est vraiment à l’opposé de la définition du nombre premier.

[modifier] Est-ce que 2 est premier

Voilà un sujet qui ne fait absolument pas débat dans la communauté scientifique. 2 est le seul nombre à la fois pair et premier. Et d’ailleurs il n’arrête pas de crâner avec ça même s’il s’est fait casser la gueule par le 4 et le 6 à la récré la dernière fois.

[modifier] Est-ce que 83 est premier

Oui.

[modifier] Origine des nombres premiers

Étrangement, les nombres premiers sont arrivés après les nombres normaux. Au début, c'est-à-dire à peu près à l’époque de Ptolémée II rebaptisé d’ailleurs Ptolémée VI, on comptait à partir de 4 et on évitait systématiquement les nombres premiers qui étaient jugés subversifs. Ne dit-on pas encore aujourd’hui qu’être 13 à table porte malheur ? Il était également interdit d’avoir 3 enfants, 2 bagnoles ou un code de carte bleue égal à 4391.

Mais l’essor des nouvelles technologies et l’invention du football ont rendu nécessaire la prise en compte des nombres premiers. On a donc rempli les cases manquantes, non sans une certaine appréhension. Pour autant lors des invasions Goths, les nombres premiers ont paradoxalement pris le dessus sur les autres. On comptait alors 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13 et ainsi de suite. Cela n’a heureusement pas duré. Le 11 juillet 803, juste avant de partir en vacances au Cap d’Agde, Charlemagne décida de tout normaliser en proclamant la « Déclaration des Droits du Chiffre et du Nombre » dont le premier article est le fameux :

   
Nombre premier
Tous les nombres naissent libres et égaux
   
Nombre premier
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L'air de rien, Steeve fait progresser la recherche

Vu que tous les nombres étaient égaux, chaque chose, en n'importe quelle quantité, pouvait valoir n'importe quel prix puisque tous les prix étaient égaux. Il y avait à la fois une infinité de nombres et seulement quatre. La formation ne s'était jamais aussi bien portée : tout le monde pouvait se vanter d'être polyglotte et d'avoir plusieurs centaines de doctorats. La pauvreté et la richesse n'existaient plus, bref, c'était le paradis. Néanmoins, cela posait problème puisque la monogamie et la polygamie revenaient au même, que la simple pénétration valait la double et la triple et qu'une semaine pouvait contenir dix-neuf dimanches pour 0,4 lundi[1]. L'église, qui ne s'y retrouvait plus avec ses vingt-quatre testaments, ses \sqrt{5} évangiles, ces pi commandements, ces 23'447 péchés capitaux etc. décida donc que chaque nombre vaudrait exactement un de plus que le nombre précédent, et un de moins que le nombre suivant. Le pape Urbain \frac{\frac{x}{2}}{x \times \frac{y}{8}} conserva néanmoins une trace de cette étrange époque en décidant que le christianisme n'aurait qu'un dieu : le père, le fils et le saint esprit...

Sont ensuite arrivés les fameux mathématiciens que sont Blaise Pascal, Evariste Galois, Aristote Van Gogh ou Leonhard Euler qui ont donné leurs lettres de noblesse aux nombres premiers. La vanne était ouverte et de nombreux mathématiciens professionnels et amateurs s’y sont engouffrés pour « chasser le nombre premier ». Une quête sans fin qui est toujours d’actualité aujourd’hui, continuant d’engendrer des générations de puceaux à lunettes.

[modifier] Comment vérifier la premièritude d’un nombre

Il existe de nombreuses méthodes pour vérifier si un nombre ‘x’ est bien premier (la lettre ‘x’ est choisie ici par convention pour désigner n’importe quel nombre, elle ne correspond pas au 10 en chiffres romains, même si ‘x’ peut être égale à 10 aussi, y a pas de raison. Quoique c’est un peu con de choisir 10 puisqu’on voit bien qu’il est pair et donc pas premier fermez la parenthèse).

[modifier] La méthode de l’intervalle

La méthode la plus simple consiste à diviser ‘x’ par l’ensemble des nombres situés dans un intervalle allant de 2 à partie-entière-de-racine-de-x. Si le résultat de l’une des divisions est un nombre entier, ‘x’ n’est pas premier. Astuce : vous pouvez gagner du temps en vous arrêtant dès le premier quotient entier, même si la conscience scientifique recommande de continuer jusqu’au bout, pour être sûr. Entraînez-vous avec les nombres suivants : 29, 111, 497, 391862, Pi, 0

[modifier] La méthode statistique

Une autre méthode un peu moins fiable mais beaucoup plus rapide consiste à répondre à la question « Est-ce que ‘x’ est un nombre premier ?» systématiquement par « non ». Cette méthode astucieuse exploite un autre pan de la culture mathématique, les statistiques. Il existe en effet beaucoup plus de nombres non premiers que de nombres premiers. En répondant « non », vous avez une probabilité bien plus grande d’avoir raison.

[modifier] La méthode par approximation

Il existe une troisième méthode qui a l’avantage d’être à la fois très fiable et très rapide. Au lieu de chercher à savoir si ‘x’ est premier, contentez-vous de vérifier si x+1 est premier ou pas. ‘x’ étant forcément impair (à moins que vous soyez assez con pour vouloir vérifier la premièritude d’un nombre pair), x+1 sera pair et vous pourrez affirmer sans risque d’erreur que x+1 n’est pas premier (x+1 sera obligatoirement divisible par 2, comme c’est souvent le cas avec des nombres pairs). Vous pouvez répéter l’opération pour x-1. C’’est ce qu’on appelle la méthode par approximation.

[modifier] Le crible d’Ératosthène

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Crible d'Eratosthène (reconstitution d'après témoignage)

Citons également pour l’anecdote la méthode un peu barbare du crible d’Ératosthène qui consiste simplement à cocher dans une grille plus ou moins grande tous les multiples de chaque nombre premier afin qu’apparaissent au final uniquement les nombres premiers.

[modifier] Combien y a-t-il de nombres premiers ?

On n’en sait rien exactement. Ça fait des unités voire des dizaines voire des centaines voire des milliers d’années qu’on bosse là-dessus et y a pas un gars au monde qui a été capable de trouver le dernier nombre premier. Il y a toujours un petit malin qui en sort un nouveau juste pour la déconne. D’un autre côté, Euclide a démontré qu’il y en a une infinité mais personne n’a jamais pu vérifier et en plus il n’avait pas un super ordinateur avec un processeur Intel Core 2 quad donc je ne vois pas pourquoi il l’a ramené celui-là.

Précisons quand même que la célèbre formule d’Euler que tout le monde connaît prouve soi-disant l’infinité des nombres premiers (bien entendu, il était saoul comme un Polonais quand il l’a écrite sur le mur de ses chiottes) :

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Quel déconneur cet Euler !

[modifier] Comment on fait pour trouver de nouveaux nombres premiers ?

Ce n’est pas simple. On peut évidemment se référer aux méthodes décrites plus haut en testant chaque nombre un par un mais il est possible que cela réclame un peu de temps. Vous pouvez aussi tenter de compter sur la chance ou miser sur la fainéantise des instances chargées de vérifier la premièritude de vos nombres mais ce n’est pas forcément une stratégie valable sur le long terme.

Il existe bien quelques formules mathématiques simples qui offrent des pistes mais elles ne vous feront pas tomber les nombres premiers dans le creux de la main comme les fientes de pigeon sur des statues. Et pour tous ceux qui se disent « rien à foutre de toute façon de trouver des nombres premiers », rappelons qu’un nombre premier inédit peut se revendre sous le manteau plusieurs millions de dollars, voire d’euros.

[modifier] A quoi servent les nombres premiers

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Une démonstration édifiante qui aurait dû le rendre riche et célèbre

« Plusieurs millions de dollars ? Ben putain ça doit être vachement utile un nombre premier pour valoir autant. » Et bien non et c’est là toute la beauté de la chose. Un nombre premier ne sert à rien. Il y a eu une sorte de spéculation au milieu du siècle dernier concernant l’éventuelle utilité des nombres premiers notamment au niveau du cryptage des données et tout le bordel. En réalité, cette histoire a été montée de toute pièce par la diaspora soviétique pendant la Guerre Froide pour occuper les étudiants et scientifiques occidentaux à des choses futiles plutôt qu’à la conception d’une nouvelle bombe à protons.

Mais au final, cet aspect historique du nombre premier l’a rendu très populaire et comme un bon vin ou un tableau de maître, le nombre premier a pris de la valeur en vieillissant, étant désormais recherché par de riches amateurs prêts à débourser une petite fortune pour avoir la primeur d’un nombre premier. On évoque d’ailleurs souvent le souvenir du mathématicien Aristote Van Gogh qui fut le premier (sic) à démontrer que 11 et 17 sont des nombres premiers et qui est pourtant mort dans le plus grand dénuement alors qu’il serait aujourd’hui multimillionnaire avec sa découverte.

[modifier] Les nombres parfaits

Les nombres parfaits méritaient évidemment un chapitre dans ce dossier sur les nombres premiers. En effet, ils n’ont strictement aucun rapport avec les nombres premiers. Mais on a l’habitude de parler des seconds quand on évoque les premiers (c’est le cas de le dire) donc voilà.

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Saviez-vous que...
14 474 011 154 664 524 427 946 373 126 085 988 481 573 677 491 474 835 889 066 354 349 131 199 152 128 est un nombre parfait

Mais d'abord un petit rappel (on me signale également un rappel de BCG pour M. Casimir Aculeux, de Villeneuve-Sainte-Georgette) : un nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs (sauf lui-même, faut pas être stupide non plus).

Par exemple : 6 est divisible par 1, 2, 3 et 6 = 1 + 2 + 3

Autre par exemple : 28 est divisible par 1, 2, 4, 7, 14 et 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

Autant les nombres premiers ne servent à rien, autant les nombres parfaits ne servent VRAIMENT à rien. Ils n’ont même pas de valeur marchande, c’est pour dire. D’ailleurs aucun nombre parfait n’est premier, bien fait pour leur gueule.

[modifier] Quelques blagues sur les nombres premiers

Comme d’habitude, la XXIIIe Convention Internationale Trisannuelle sur les Nombres Premiers a été l’occasion de débats sérieux qui ont toutefois été égayés par les facéties de certains protagonistes, et pas des moindres. En voici un petit florilège capté lors de certaines conférences.

« Eh Aristote, tu connais un nombre premier qui est le multiple de deux nombres premiers distincts l’un de l’autre et différents de 1 ? »
~ Professeur Sayjnaridistian Vijaynisjitsualbayanji de Brest
Rires
« Eh Leonhardt, donne-moi 5 nombres premiers décimaux »
~ Professeur Lucas Deledire de Pondichéry
Rires
« Eh Évariste, cite-moi un nombre à la fois premier et parfait. »
~ Professeuse Jeanne Mas de Paris
Rires redoublés grâce à l'abnégation du chauffeur de salle

Le prix de la meilleure blague a toutefois été attribué à Sylvain Héttiré-Hilfaulboir, étudiant en 6e cycle à l’université Eddie Merckx de Bruxelles :

— Que fait un nombre premier quand on le divise par lui-même ?
— Il fait : hein ? (encore plus drôle si la réponse est prononcée avec un fort accent du nord comme Dany Boon dans Bienvenue chez les Ch’tis)

[modifier] Note

  1. C'est de cette époque que date d'ailleurs la semaine des 4 jeudis


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