Démonstration par récurrence

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Tout comme plein de choses, la Démonstration par récurrence est une arnaque mathématique, élementaire à la physique, appartenant au domaine de la RDM (Recherche De Magouilles).

C'est le moyen le plus répandu chez les mathématiciens pour démontrer quelque chose quand ils n'arrivent pas à trouver de démonstration fiable et honnête.

Jean d'Alembert.jpeg Jean le Rond d'Alembert dit :
« Je vous ai tous bien niqués ! »



[modifier] Historique

La Démonstration par récurrence est née en 1876, lors du 13° Sommet Internationnal de la MAFIA des Mathématiciens se tenant cette année là à Losse-En-Jelesse, dans le Gers.

Elle fut en fait proposée par John Moncul, mathématicien Congolais reconnu, pour pallier le manque récurrent de démonstrations qui ralentissait l'avènement des théorèmes et donc du règne des mathématiques sur le monde.

Cependant, la polémique éclata dans les années 1950, puisque des découvertes ont dévoilé que dès l'antiquité, le philosophe et mathématicien grec Bill McDonald avait déjà travaillé sur cette démonstration. Malgré ça, on continue à associer la Démonstration par récurrence, aussi appelée théorème de Moncul à John Moncul.

[modifier] Enoncé

La Démonstration par récurrence procède, comme l'indique explicitement son nom, sur le principe de récurrence. Ainsi si on arrive à démontrer que toute propriété vraie pour n, est vraie pour n+1, alors c'est vrai pour tout n.

On procède pour cela en trois étapes :

  • Vérification des petites valeurs de n
  • Vérification de l'hérédité
  • Enoncé de la propriété

On pourrait cependant se passer de la première étape, puisque la seconde prouve la première (si vrai pour tout n, c'est vrai pour les petits n... logique !). Bien sûr, la troisième, puisqu'elle est vraie (on va pas chercher à démontrer un truc faux, on passe par un contre-exemple, bien plus rapide) englobe la seconde. La démonstration pourrait donc se limiter à énoncer la propriété, puisque si elle est vraie, la récurrence est vraie !

Grâce à la propriété de Moncul, on peut ainsi démontrer que quelque chose de vrai est vrai, parce que c'est vrai, alors que si c'est faux, et bien c'est vraiment faux, puisque c'est vrai que c'est faux. Si c'est faux alors que c'est vrai parce que c'est faux que c'est faux, alors cela est complètement absurde : voir donc la solution de secours, la Démonstration par l'absurde.

[modifier] Exemple de démonstration par récurrence

On veut démontrer la propriété :

Tous les nombres impairs sont pairs.

On procède ainsi:

  • Vérification des petites valeurs
Pour n=1 : n=1 (vrai)
Pour n=2 : n=2 (vrai)
Pour n=3 : n=3 (vrai)
  • Vérification de l'hérédité
Hyp : c'est vrai pour n
Conc : c'est vrai pour n+1
Démo : Si c'est vrai, c'est que c'est vrai, donc c'est vrai. (sinon ça serait faux)
  • Enoncé de la propriété :
C'est vrai

On vient donc de démontrer que tous les nombres impairs sont pairs.

[modifier] Démonstrations

[modifier] Démonstration de la démonstration

Cependant, comme tout théorème il faut donc démontrer que cette démonstration est vraie. On démontrera donc la Démonstration par récurrence par récurrence.


Vérification pour les petites valeurs

pour n=1 : si vrai pour la récurrence de n, alors vrai pour celle de n+1
 * Sous vérification des petites valeurs
 pour k=1 : n=1 (vrai)
 pour k=2 : n=1 (ça doit surement être vrai)
 pour k=3 : n=1 (c'est peut-être faux, mais vu que c'était vrai avant...)


 * Sous vérification de l'hérédité
 Hyp : n et k sont deux lettres de l'alphabet (vrai)
 Conc : n+1 et k+1 sont deux lettres de l'alphabet
 Demo : n+1 = p, c'est une lettre de l'alphabet
        k+1 = m, c'est une lettre de l'alphabet
 * Sous énoncé : en fait, c'était bien vrai ! (ouf...)
On démontrera par récurrence que c'est aussi vrai pour n=2, n=3
  • Vérification de l'hérédité
Hyp : La démonstration par récurrence est vraie pour n
Conc : La démonstration par récurrence est vraie pour n+1
Démo : On vient de dire que c'est vrai, alors je vois pas pourquoi ça serait faux
  • Enoncé de la propriété
La démonstration par récurrence est tout à fait rigoureuse et juste.

[modifier] Démonstration de la réciproque

Maintenant qu'on a démontré dans un sens le théorème/démonstration, il faut le démontrer dans l'autre sens.

  • sruelav setitep sed noitacifiréV
(iarv) 1=n : 1=n
(iarv) 2=n : 2=n
(iarv) 2=n : 2=n
  • étidéréh'l ed noitacifiréV
n ruop iarv : pyH
1+n ruop iarv : cnoC
iarv tse'c euqsiup, iarv tse'c srola iarv tse'c is : omeD
  • étéirporp al ed écnonE
etsuj te esueruogir tiaf à tuot tse ecnerrucér rap noitartsnoméd aL


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